دنباله اعداد فيبوناچي
به چند طريق مي توانيد از يک پلکان که داراي n پله است بالا برويد، اگر در هر گام فقط بتوانيد يک يا دو پله را طي کنيد؟
براي حل مسئله، ابتدا يک حالت ساده را در نظر مي گيريم. فرض کنيد که پلکان چهار پله دارد. شما مي توانيد با چهار گام کوچک ( يک پله اي ) مسير را طي کنيد يا اينکه دو گام بزرگ ( دو پله اي ) برداريد، يا يک گام بلند و دو گام کوچک. کليه حالتهاي ممکن در شکل زير نمايش داده شده است. پله هايي که با علامت مشخص شده اند، آنهايي هستند که روي آن قدم گذاشته ايد.
در واقع اين مسئله را با يک استراتژي بسيار ساده مي توان حل کرد. کافي است مسئله را کمي خرد کنيم. آخرين گام يا يک گام کوچک است و يا يک گام بزرگ. تعداد راههايي که مي توان پلکان را طوري طي کرد که به پله ماقبل آخر رسيد، حل مسئله براي يک پله کمتر ( n-1 پله ) است و تعداد راههايي که مي توان از آن به دو پله پايين تر رسيد، حل مسئله براي دو پله کمتر ( n-2 پله ) خواهد بود. در مثال بالا سه مسير مختلف وجود دارد که به پله سوم مي رسد و دو مسير هست که به پله دوم منتهي مي شود. حالا بايد مسئله را براي اين دو حالت کوچک تر حل کنيم. ما دوباره هر يک از اين دو حالت را به حالات کوچک تر مشابه تقسيم مي کنيم. اين روش را " حل بازگشتي " مي نامند. در واقع ما هر بار مسئله را به مسئله اي شبيه خودش – اما کوچک تر از آن – تبديل مي کنيم. تعداد کل مسيرها برابر مجموع مسيرهايي که به پله ماقبل آخر رسيده و آنها که به دو پله قبل از پله آخر منتهي شده اند، مي باشد. مي توانيد بگوييد چرا؟
اگر همين طور مسئله را به مسئله هاي کوچک تر تقسيم کنيم، در آخر به جايي مي رسيم که حل آن براي ما بسيار ساده است: به چند طريق مي توان دو پله را طي کرد؟ و پس از حل آن، دوباره مسيري را که براي حل مسئله طي کرده ايم، باز مي گرديم.
اين مسئله را مي توان با دنباله اعداد فيبوناچي نيز حل کرد. دنباله فيبوناچي يک دنباله بازگشتي است که در آن اعداد اول و دوم مساوي يک مي باشد. هر عدد اين دنباله از جمع کردن دو عدد قبلي به دست مي آيد.
چند عدد ابتدايي اين دنباله عبارتند از: ... و 13 و 8 و 5 و 3 و 2 و 1 و 1، چون:
... و 8+5=13 و 8=3+5 و 5=2+3 و 3=1+2 و 2=1+1
اگر عدد n ام اين دنباله را با fn نشان دهيم، آن گاه مي توان دنباله را با فرمول بازگشتي زير مشخص کرد:
fn=fn-1+fn-2 , f1=1 , f2=1
اگر دقت کنيد متوجه مي شويد که f1 دقيقا برابر تعداد راههاي ممکن براي بالا رفتن از يک پله، f2 برابر راههاي ممکن براي دو پله و به همين ترتيب fn تعداد مسيرهاي ممکن براي رسيدن به بالاي يک پلکان n تايي است.
آيا مي توانيد توضيح دهيد که چرا تساوي بالا برقرار شد؟
مسايل بسياري را مي توان با استفاده از مدل اعداد فيبوناچي حل نمود. اين دنباله در سال 1202 ميلادي توسط يک ايتاليايي به نام " لئوناردو فيبوناچي " (Leonardo Fibonacci) ابداع شد. در واقع او در جستجوي راه حل يک مسئله بود. مسئله به اين صورت است که :
" اگر هر جفت خرگوش در هر ماه يک جفت خرگوش جديد به دنيا بياورند و خرگوش هاي جديد هم پس از گذشت يک ماه، به دوران باروري برسند ( با فرض اينکه هيچ خرگوشي نميرد ) تعداد خرگوشها را در ماه n ام پيدا کنيد. "
بعدها، يوهان کپلر (Johannes Kepler) خاصيت جالب ديگري از اين دنباله را کشف کرد. او نسبت دو جمله متوالي اين دنباله را محاسبه نمود و متوجه شد که اين نسبت به عدد
اعداد فيبوناچي را در بسياري از موارد طبيعي نيز مي توانيد مشاهده کنيد. آرايش برگ ها و گلهاي بسياري از گياهان به صورت دو پيچه (spiral) است. معمولا تعداد پيچه هاي ساعتگرد با تعداد پيچه هاي پادساعتگرد تفاوت دارد. اغلب اوقات اين دو، دو عدد متوالي از رشته فيبوناچي هستند.
اين الگو را مي توان در گلبرگ ها يا دانه هاي بسياري از گياهان مثلاً آناناس، گل داوودي، گل کلم، ميوه هاي کاج و ... مشاهده کرد. شايد دليل آن اين باشد که وقتي دانه ها ( يا گلبرگ ها ) به اين صورت قرار گيرند، بدون توجه به اندازه شان به طور يکنواخت و فشرده در کنار هم جا مي گيرند؛ يعني با اينکه عده اي از دانه ها کوچک تر از بقيه هستند، در هيچ ناحيه اي تراکم تغيير نمي کند و فضاي خالي ديده نمي شود.
با استفاده از applet زير مي توانيد پيچه هاي متعدد رسم کنيد. حتما اين کار را امتحان کنيد و ببينيد آيا در شکلهاي ايجاد شده، هيچ الگوي آشنايي مي بينيد؟
اين دنباله خواص جالب ديگري نيز دارد.
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/fibonacci/fibnat.html
http://math.holycross.edu/~davids/fibonacci/fibonacci.html
http://www.math.smith.edu/~phyllo/
http://www.math.smith.edu/~phyllo/Gallery/Pages/FrameSet.htm
كمك به كودك خود در آموختن رياضيات
بسياري از اوليا براي كمك به كودك خود در آموختن رياضيات ، سعي مي كنند به روش هاي گوناگون متوصل شوند تا مفاهيم پيچيده ي رياضي را به او بياموزند . براي اينكه كودك بهترين كمك را دريافت كند ، بايد هدف را ايجاد اشتياق هرچه بيشتر در نظر گرفت و سعي كرد تا آنجا كه ممكن است فشار را كاهش داد . انگيزه ي يادگيري را با نشان دادن كاربرد گسترده رياضي در زندگي روزمره و اينكه خود اوليا احساس منفي خود را از رياضي به كودك القا نكنند ، مي توان قوي تر ساخت .
سعي كنيد احساس شخصي شما نسبت به رياضي ، شناخت كودك را از دنياي اعداد و محاسبات تحت تاثير قرار ندهد. زمان روش هاي آزار دهنده اي براي آموزش مفاهيم رياضي سپري شده و نگاه جديد سعي در هر چه بيشتر كاربردي تر ساختن اين آموزش دارد تا آموخته هاي كودكان با جهان واقعيت سازگارتر باشد .
با كاربرد روزمره رياضي در زندگي ، كودك به اهميت اين مهارت پي خواهد برد. مثلا به هنگام پرداخت صورت حساب خريد يا اندازه گيري متراژ منزل يا محاسبه وزن مواد غذايي در آشپزي، ميتوان كودك را به كمك طلبيد . با توضيح شغل هاي مختلف مثل مهندسان ، دارو سازان و ستاره شناسان ، ديدگاه او به كاربرد رياضي گسترده تر خواهد شد .
با صداي بلند حساب كردن در منزل يا فروشگاه، كه روند محاسبه را به كودك نشان مي دهد نيز روش موثري است. مثلا ، وقتي كودك از شما تقاضاي شيريني مي كند با گفتن اينكه " خوب ، اگر از اين پنج شيريني يكي را تو بخوري و يكي هم خواهرت بخورد براي من و پدرت چند تا باقي مي ماند؟ " از او بخواهيد كه او هم با صداي بلند حسابش را به شما بگويد . مهم تر از جواب درست يا نادرست او ، روالي است كه او براي رسيدن به جواب استفاده مي كند .
بسته به علاقه كودك و البته نظر معلم او ، گاهي و نه هميشه ، ماشين حساب و نرم افزار هاي رايانه اي براي ايجاد هيجان نسبت به مفاهيم رياضي و محاسبات مفيد خواهد بود .
يك ساعت عقربه اي براي كودك تهيه كنيد . گاهي از او سئوالاتي در مورد زمان بپرسيد . مثلا : " اگر برادرت ساعت 4 بيايد ، چند دقيقه ي ديگر بايد منتظر باشيم ؟"
از كودك بخواهيد وزن اشيا ، لوازم منزل ، كتاب و ... را حدس بزند . خود شما هم حدس بزنيد و بعد با ترازو تعيين كنيد كه كدام يك نزديكتر حدس زده است . يك روش ديگر جمع زدن اندازه ي قد يا وزن اعضاي خانواده است تا معلوم شود در مجموع قد يا وزن خانواده شما چقدر است .اين روش براي تمرين جمع اعداد سه يا دو رقمي مناسب است .
بازي هاي خريد و فروش با مقدار هاي مختلف پول كودك را با مفهو م پول و محاسبه آن آشنا مي كند . بازي هايي مثل مونو پولي ،هنوز براي بسياري از اوليا و كودكان جالب است . يك بازي ديگر هم پيشنهاد مي شود: با كمك يك تاس اعداد ، اعضاي خانواده عددي را بين يك وشش بدست مي آورند و برابر آن سكه معيني -مثلا يك توماني - دريافت مي كنند ، وقتي مجموع سكه ها به رقمي قابل تعويض رسيد ، آنرا با اسكناس يا سكه ي پر ارزش تر ، معاوضه مي كنند . وقتي بودجه فرضي تمام شد ، كسي كه بيشترين ميزان پول را بدست آورده است ، برنده مي شود . در مثالي ديگر، مي توان كودك را با بودجه اي معين براي خريد لوازم يك وعده غذا به حساب دعوت كرد و ديد كه چطور بودجه بندي را مي آموزد و آيا حدس هاي او قابل انجام است؟ و اگر چنين بود بر همان اساس خريد انجام بشود .
يك روش براي آشنايي وي با مفهوم حجم ، وزن و نسبت اين است كه با كمك ظروف اندازه گيري از او بخواهيد مقادير برنج ، حبوبات يا مايعات را براي تهيه ي غذا پيمانه كند .
گاهي اوليا نگران توان يادگيري فرزندشان هستند . در اين شرايط ، معلمان بهترين داوري را عرضه مي كنند زيرا امكان مقايسه كودك را در كنار همكلاسان ديگر و شرايط مختلف مدرسه دارند . علائمي مانند مشكل در ياد آوري ارقام ، اشتباه نوشتن اعداد مثلا 7 با 8 يا 3 با 2 ، كلافه شدن و بيقراري هنگام كار با ارقام ، ناتواني در دنبال كردن دستور العمل هاي ساده رياضي ، ناتواني در درك مفاهيم ذهني مثل بزرگتر و كوچكتر يا قبل و بعد يا كم سن تر و مسن تر و اضطراب بالا در مورد تكاليف رياضي كه اگر همه يا اغلب شان در يك كودك ديده شود بايد با معلم كودك صحبت نمود . چون قبل از آنكه تشخيص اختلال يادگيري مطرح شود بايد اين احتمال كه شايد كودك تحت فشار زياد تر از حد توان است يا نيازمند تمرين هايي مانند آنچه در بالا ذكر شد است ، رد شود . سرانجام ممكن است اوليا و معلم ، به اين نتيجه برسند كه كمك روانپزشكي براي كودك لازم است.
دكتر هادى شاكر
نظر بدید
با سلام
د یکم نظر بدید مارو کشتید!!!!!!!!!
ریاضی به همه چیز ربط داره حتی انتخابات!
با سلام و عرض تبریک به شما ملت ایران که در تیر و خرداد حماسه ای آفریدید تا دندان های بوش در دهانش شکسته شوند.
می خواستم بگویم که همه چیز به ریاضی ربط دارد حتی انتخابات. آیا برای شمارش آرا به ریاضی نیازی نیست؟ آیا برای در صد بندی ها به ریاضی نیازی نیست؟ و آیا شما برای انتخاب خود از ریاضی استفاده نکردید؟! حتما شما استفاده کردید. میگویید کی حالا به شما می گویم. آیا شما در انتخابات تخمین و احتمال را به کار نبردید؟ پس ریاضی به همه چیز ربط دارد حتی انتخابات!
با آرزوی موفقیت برای آقای دکتر احمدی نژاد رئیس جمهور منتخب ایران